Аннотация:
Доказаны результаты о точных асимптотиках вероятностей
$$
\mathbf P\biggl\{\int\limits_0^1e^{\varepsilon\xi(t)}\,dt>b\biggr\},\qquad
\mathbf P\biggl\{\int\limits_0^1e^{|\varepsilon\xi(t)|}\,dt>b\biggr\},\qquad
\varepsilon\to0,
$$
при $b>1$ для двух гауссовских процессов $\xi(t)$ – винеровского процесса и броуновского
моста. Метод исследования – метод Лапласа для гауссовских мер
в банаховых пространствах. Вычисления констант сведены к решению экстремальной
задачи для функционала действия и исследованию спектра дифференциального
оператора второго порядка типа Штурма–Лиувилля с помощью
функций Лежандра.