Системы троек Штейнера $S(2^m-1,3,2)$ ранга $2^m-m+1$ над $\mathbb F_2$

Описана структура всех систем троек Штейнера $S(2^m-1,3,2)$ ранга не более $2^m-m+1$ над полем $\mathbb F_2$, которая индуцирует естественный рекуррентный метод построения систем троек Штейнера произвольного ранга. Найдено число всех различных систем троек Штейнера порядка $2^m-1$ и ранга не более $2^m-m+1$. Доказано, что все тройки Штейнера такого ранга являются производными, т.е. достраиваются до систем четверок Штейнера $S(2^m,4,3)$. Установлено также, что все такие тройки Штейнера являются хэмминговыми, т.е. любая система троек Штейнера $S(2^m-1,3,2)$ ранга $r\le2^m-m+1$ над полем $\mathbb F_2$ встречается в виде слов веса 3 двоичного нелинейного совершенного кода длины $2^m-1$.