О наименьшем размере почти полного подмножества коники в $\mathrm{PG}(2,q)$ и расширяемости кодов Рида–Соломона

В проективной плоскости $\mathrm{PG}(2,q)$ подмножество $\mathcal S$ коники $\mathcal C$ называется почти полным, если оно может быть расширено до большей дуги в $\mathrm{PG}(2,q)$ только точками множества $\mathcal C\setminus\mathcal S$ и ядром коники $\mathcal C$, когда $q$ четно. Получены новые верхние границы наименьшего размера $t(q)$ почти полного подмножества коники, в частности,
$$ \begin{aligned} & t(q)<\sqrt{q(3\ln q+\ln\ln q+\ln3)}+\sqrt{\frac q{3\ln q}}+4\sim\sqrt{3q\ln q},\\ & t(q)<1{,}835\sqrt{q\ln q}. \end{aligned} $$
Новые границы используются для увеличения мощности множества пар $(N,q)$, для которых доказано, что каждая нормальная рациональная кривая в проективном пространстве $\mathrm{PG}(N,q)$ является полной $(q+1)$-дугой, или, эквивалентно, что никакой обобщенный дважды расширенный $[q+1,N+1,q-N+1]_q$-код Рида–Соломона не может быть расширен до $[q+2,N+1,q-N+2]_q$-кода c минимальным допустимым расстоянием.