Оптимальные верхние границы для дивергенции конечномерных распределений при заданном вариационном расстоянии

Рассматривается задача о нахождении максимальных значений дивергенций $D(P\parallel Q)$ и $D(Q\parallel P)$ дискретных распределений вероятностей $P$ и $Q$ со значениями на конечном множестве $\mathcal{N}=\{1,2,\ldots,n\}$ при условии, что задано вариационное расстояние $V(P,Q)$ между ними и заданы либо распределение вероятностей $Q$, либо (в случае $D(P\parallel Q)$) лишь значение минимальной компоненты $q_{\min}$ распределения $Q$. Получены точные выражения для указанных максимумов дивергенций, которые в ряде случаев позволяют выписать для них как явные формулы, так и простые верхние и нижние границы, причем для максимума $D(P\parallel Q)$ при заданных $V(P,Q)$ и $q_{\min}$, а также для максимума $D(Q\parallel P)$ при заданных $Q$ и $V(P,Q)$ явные формулы получены для всех возможных значений этих параметров.