Серии формул для параметров Бхаттачарьи в теории полярных кодов

В теории полярных кодов для определения позиций замороженных и информационных бит используются параметры Бхаттачарьи. Они характеризуют скорость поляризации каналов $W_N^{(i)}$, $1\le i\le N$, специальным образом построенных из исходного канала $W$, где $N=2^n$ – длина кода, $n=1,2,\ldots\strut$ В случае, когда $W$ – двоичный симметричный канал без памяти, приведены две серии формул для параметров $\smash[b]{Z\bigl(W_N^{(i)}\bigr)}$: при $i=N-2^k+1$, $0\le k\le n$, и при $i=N/2-2^k+1$, $1\le k\le n-2$. Формулы требуют порядка $\dbinom{2^{n-k}+2^k-1}{2^k}2^{2^k}$ операций сложения для первой серии и порядка $\dbinom{2^{n-k-1}+2^k-1}{2^k}2^{2^k}$ для второй. Для случаев $i=1,N/4+1,N/2+1,N$ найденные выражения для параметров удалось упростить, вычислив входящие в них суммы. Указаны возможные обобщения для значений $i$ из интервала $(N/4,N)$. Также исследуются комбинаторные свойства поляризационной матрицы $G_N$ полярного кода с ядром Арикана. В частности, установлены простые рекуррентные соотношения между строками матриц $G_N$ и $G_{N/2}$.