Аннотация:
Рассматривается задача оценивания замкнутого выпуклого множества $G$ на плоскости по выборке из равномерного распределения на этом множестве. Предполагается, что $G$ принадлежит либо классу всех замкнутых выпуклых подмножеств заданного круга, мера Лебега которых отделена от нуля, либо
меньшему классу всех выпуклых множеств, имеющих гладкие границы с радиусом кривизны $\geq R_0$. Исследуется асимптотика минимаксного риска на этих классах в случае, когда расстояние между оценкой и истинным множеством измеряется в метрике Хаусдорфа. Доказывается, что асимптотика минимаксных
рисков различна для этих классов, а именно,$O((n/(\log n))^{-1/2})$ и $O((n/(\log n))^{-2/3})$ соответственно. Более того, для класса гладких выпуклых множеств $G$ устанавливаются точные оценки минимаксного риска с отношением нижней границы к верхней $\approx 0,96$.
УДК:
621.391.1:519.28
Поступила в редакцию: 29.09.1993 После переработки: 12.04.1994