Теорема о расширении для дуг и линейных кодов

Доказывается следующее обобщение теоремы Хилла–Лизака о расширении: для любого линейного $[n,k,d]_q$-кода, не допускающего расширения, $q=p^s$, $(d,q)=1$, справедливо
$$ \sum_{i\not\equiv0,d\,(\mathrm{mod}\;q)}A_i>q^{k-3}r(q), $$
где $q+r(q)+1$ – наименьшая мощность нетривиального блокирующего множества в $\mathrm{PG}(2,q)$. Далее этот результат применяется для доказательства несуществования некоторых линейных кодов над $\mathbb F_4$, лежащих на границе Грайсмера.