Эта публикация цитируется в
4 статьях
Биллиарды и интегрируемые системы
А. Т. Фоменкоab,
В. В. Ведюшкинаa a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Аннотация:
Обзор посвящен классу интегрируемых гамильтоновых систем и классу интегрируемых биллиардов, а также недавним результатам авторов и их учеников по задаче сравнения этих классов с точки зрения послойной гомеоморфности их слоений Лиувилля. Ключевым инструментом здесь оказались введенные В. В. Ведюшкиной биллиарды на кусочно-плоских CW-комплексах – топологические биллиарды и биллиардные книжки. Приведено построение класса эволюционных (силовых) биллиардов, введенных недавно А. Т. Фоменко и позволяющих моделировать систему сразу в нескольких неособых зонах энергии при помощи одного биллиарда, а также его применение для геодезических потоков на двумерных поверхностях и систем механики. Обсуждаются другие интегрируемые обобщения классического биллиарда, включая биллиарды с потенциалами, биллиарды в магнитном поле, биллиарды с проскальзыванием. Биллиардные книжки с потенциалом Гука, склеенные из плоских софокусных или круговых столов, моделируют четырехмерные полулокальные особенности слоений интегрируемых систем, содержащие невырожденные положения равновесия. Рассмотрение пересечения нескольких софокусных квадрик в
$\mathbb{R}^n$ приводит к обобщению теоремы Якоби–Шаля.
Библиография: 144 названия.
Ключевые слова:
интегрируемая система, гамильтонова система, биллиард, софокусные квадрики, геодезический поток, динамика твердого тела, биллиардная книжка, лиувиллева эквивалентность, инвариант Фоменко–Цишанга, особенность, бифуркационная диаграмма, эволюционный биллиард.
УДК:
517.938.5
MSC: Primary
37C83,
37J35; Secondary
37D30,
70E40 Поступила в редакцию: 23.12.2022
DOI:
10.4213/rm10100