Критерии $C^m$-приближаемости функций решениями однородных эллиптических уравнений второго порядка на компактах в $\mathbb{R}^N$ и связанные с ними емкости
М. Я. Мазаловab,
П. В. Парамоновcb,
К. Ю. Федоровскийcbd a Филиал ФГБОУ ВО "НИИ "МЭИ" в г. Смоленске
b Санкт-Петербургский государственный университет
c Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
d Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Аннотация:
В настоящем обзоре обсуждаются результаты, полученные за последние 12 лет авторами обзора и их соавторами. Основное достижение за этот период состоит в том, что установлены емкостные критерии типа Витушкина для
$C^m$-приближаемости функций решениями однородных эллиптических уравнений
второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами на компактах в
$\mathbb R^N$ во всех размерностях
$N\in\{2,3,\dots\}$ и для всех параметров гладкости
$m\in[0,2)$. Эти критерии даются в
индивидуальной форме. Из них непосредственно вытекают соответствующие критерии для
классов функций, установленные ранее Д. Вердерой, Д. Матеу, Д. Оробичем и Ю. Нетрусовым (1996 г., за исключением случаев
$m=0$ и
$m=1$). Вторым существенным достижением за это время было получение интегрально-геометрического описания всех используемых в указанных критериях емкостей при
$m=0$ (М. Я. Мазалов, 2024 г.) и
$m=1$ (К. Толса, 2021 г.). В частности, установлена их субаддитивность.
Библиография: 69 названий.
Ключевые слова:
однородный эллиптический оператор
$\mathcal L$ второго порядка,
$C^m$-аппроксимация, фундаментальное решение, локализационный оператор типа Витушкина, обхват по Хаусдорфу,
Lip$^m$-
$\mathcal L$-емкость,
$C^m$-
$\mathcal L$-емкость,
$\mathcal L$-осцилляция.
УДК:
517.53+
517.57+
517.951
MSC: Primary
30C85,
30E10,
35J15; Secondary
31A15,
31B15,
31C45,
35J25 Поступила в редакцию: 21.06.2024
DOI:
10.4213/rm10177