Проблема Каждана–Мильмана для полупростых компактных групп Ли

За последние 25–30 лет в теории отображений, близких к представлениям, – почти представлений, аппроксимативных представлений, квазипредставлений, псевдопредставлений и т. д. – накоплен большой материал и созданы технические приемы, имеющие нетривиальные приложения в алгебре и топологии, – от ограниченных когомологий до финслеровых метрик и инварианта Калаби в симплектической геометрии. В обзоре основные понятия и факты теории излагаются в связи с приводимым в данной работе доказательством “теоремы тривиальности” для конечномерных квазипредставлений компактных групп Ли: любое (не обязательно непрерывное) конечномерное унитарное квазипредставление с малым дефектом полупростой компактной группы Ли близко к обычному (непрерывному) представлению этой группы. Эта теорема, дающая полный ответ на вопрос Каждана–Мильмана 1982 г., является и частичным ответом на вопрос Громова 1995 г., а именно, хотя полупростая компактная группа в дискретной топологии не аменабельна, но все ее конечномерные унитарные квазипредставления являются возмущениями обычных представлений. Кроме того, указаны необходимые и достаточные условия справедливости аналога теоремы Ван дер Вардена (т.е. условия автоматической непрерывности всех локально ограниченных конечномерных представлений) для данной связной группы Ли и дано описание структуры всех конечномерных локально ограниченных квазипредставлений произвольных связных полупростых групп Ли. Обсуждаются и результаты, связанные с некоторыми другими направлениями исследований по теории отображений групп и алгебр, близких к представлениям, и их приложениями к геометрии и теории групп.
Библиография: 225 названий.