Действия торов, комбинаторная топология и гомологическая алгебра

Дан обзор результатов и открытых проблем, связанных с такими фундаментальными комбинаторными объектами как многогранники, симплициальные комплексы, кубические комплексы и конфигурации подпространств. Особое внимание уделено симплициальным и кубическим разбиениям многообразий и, в первую очередь, сфер. Изложены важные конструкции, позволяющие исследовать эти объекты средствами коммутативной и гомологической алгебры. В основе предлагаемого подхода ко всему кругу рассматриваемых проблем лежит развиваемая авторами теория момент-угол комплексов. Ключевым в ней является построение по каждому симплициальному комплексу $K$ с $m$ вершинами пространства $\mathscr Z_K$ с действием $m$-мерного тора, обладающего специальным биградуированным клеточным разбиением. В рамках этой теории широко известные неособые торические многообразия появляются как фактор-пространства момент-угол комплексов для симплициальных сфер по максимальному свободному действию тора. Показано, что инварианты симплициальных комплексов и связанных с ними комбинаторно-геометрических объектов выражаются в терминах биградуированных колец когомологий соответствующих момент-угол комплексов. Описаны решения ряда известных топологических задач, полученные на основе новых взаимосвязей комбинаторики, геометрии и топологии.
Библиография: 89 названий.