Эрмитова $K$-теория. Теория характеристических классов, методы функционального анализа

В статье дается обзор результатов по эрмитовой $K$-теории за последнее десятилетие. Основное внимание уделено вычислению числовых инвариантов эрмитовых форм с помощью теории представлений дискретных групп и сигнатурным формулам на гладких неод- носвязных многообразиях.
В первой главе приводятся основные свойства эрмитовой $K$-теории. В частности, обсуждаются свойство периодичности, проекторы Басса–Новикова, новые подходы к изучению $K$-теории с помощью представляющих пространств. Во второй главе обсуждается метод теории представлений для нахождения инвариантов эрмитовых форм. В § 5 рассматривается новый класс бесконечномерных фредгольмовых представлений дискретных групп. Третья глава посвящена сигнатурным формулам на гладких многообразиях и различным проблемам гладкой топологии, в которых применяются сигнатурные формулы.