Инвариантные, асимптотически устойчивые торы возмущенного уравнения Кортевега–де Фриза

В статье доказывается, что возмущенное уравнение КДФ
$$ \frac{\partial u}{\partial t}+u_{xxx}+uu_x=\nu u_{xx}+\varepsilon u+f(u) $$
для широкого класса нелинейностей $f$, например для $f(u)=-u^3$, и нелинейное уравнение Шрёдингера
$$ i\frac{\partial u}{\partial t}=(\omega+i\nu)u_{xx}+i\varepsilon u+(\alpha+i\beta)|u|^2u $$
с периодическими граничными условиями имеют инвариантные многообразия, гомеоморфные торам, размерность которых неограниченно возрастает при стремлении коэффициента вязкости $\nu$ к нулю, что соответствует гипотезе Ландау о развитии турбулентности.
Изучены условия, при которых инвариантные торы обладают свойством асимптотической устойчивости. На инвариантных торах поведение траекторий близко к условно периодической обмотке, хотя при $t\to+\infty$ могут реализоваться различные ситуации. Так, например, приведен пример нелинейности $f$, для которой возникает ситуация, описанная Рюэлем и Такенсом: на инвариантном торе $T$ существует притягивающее множество, конструируемое с помощью подковы Смейла, по которому траектории совершают “случайное блуждание”. Приведен также пример нелинейности, для которой траектории, лежащие на торе, не являются дифференцируемыми функциями времени, т.е. соответствующий волновой процесс не имеет скорости.
У решений $u(x,t)$ энергия $\operatorname\int_0^{2\pi}u(x,t)^2\,dx$ сосредоточена на первых $N=\dim T$ модах $e^{ix},e^{i2x},\dots,e^{iNx}$, откуда следует, что решение $u(x,t)$ имеет плохую с физической точки зрения гладкость по пространственной координате $x$. Основную роль в описываемом уравнением волновом процессе играют крупномасштабные пульсации, верхний конец $N$ частотного спектра ограничен и совпадает с размерностью инвариантного тора $T$, представляющего собой гамильтонов осколок невозмущенной системы.
Библ. 10 назв.