Об эквивариантных вложениях $G$-пространств

Исследуется функториальная зависимость $\alpha$ между отображениями $h\colon X\to Y$, где $X$ есть $G$-пространство с непрерывным действием $\alpha$ группы $G$, и отображениями $\tilde{\alpha}(h)\colon X\to Y^X$, где $Y^X$ берется с компактно-открытой топологией. Функтор $\tilde{\alpha}$ сохраняет свойства взаимной однозначности, непрерывности, быть топологическим вложением, а при компактной группе – быть топологическим вложением с замкнутым образом. При фиксированных $X$, $\alpha$ и $Y$ функтор $\tilde{\alpha}$ – топологическое вложение пространства $\mathscr C(X,Y)$ в $\mathscr C(X,\mathscr C(G,Y))$ (топология – компактно-открытая). Если $Y$ – топологическое векторное пространство, то $\tilde{\alpha}$ – мономорфизм. Если $G$ локально-компактна, то имеется непрерывное действие группы $G$ в $\mathscr C(G,Y)$, причем $\tilde{\alpha}(h)$ эквивариантно при любом $h$. Если $V$ – локально-выпуклое пространство, то существует непрерывный мономорфизм группы $G$ в группу всех топологических линейных преобразований локально-выпуклого пространства $\mathscr C(G,V)$. При локально-компактной группе $G$ всякое вполне регулярное $G$-пространство топологически эквивариантно вкладывается в локально-выпуклое пространство $\mathscr C(G,V)$ с естественным действием группы всех топологических линейных преобразований (это недавно получено де Врисом с помощью другой конструкции). Если же $G$ – компактно, то это вложение можно сделать с замкнутым образом.