Аналитические первые интегралы нелинейных параболических в смысле И. Г. Петровского систем дифференциальных уравнений и их приложения

Для нелинейной параболической в смысле И. Г. Петровского системы дифференциальных уравнений с периодическими краевыми условиями строятся первые интегралы, т.е. функционалы $G(t,u)$, принимающие постоянное по $t$ значение на любом решении $u(t,x)$ исходной системы: $G(t,u(t,\,\cdot\,))=\mathrm{const}$. Первые интегралы ищутся как решение некоторого уравнения первого порядка с частными производными от бесконечного числа переменных. Доказано, что задача Коши для этого уравнения в случае аналитических начальных данных имеет единственное аналитическое по $u$ решение, определенное в окрестности нуля соответствующего функционального пространства. Полученный результат используется для построения моментных функций и характеристического функционала статистического решения исходной параболической системы. Все результаты работы справедливы и в случае системы Навье–Стокса.