Эта публикация цитируется в
36 статьях
Спектр пучка операторов теории упругости
С. Г. Михлин
Аннотация:
В векторном уравнении статической теории упругости для однородной изотропной
среды
\begin{equation}
\label{1}
\Delta u+\operatorname{grad}\operatorname{div}u=F(x),
\end{equation}
где
$\omega(1-2\sigma)^{-1}$ и
$\sigma$ – постоянная Пуассона,
$\omega$ рассматривается как спектральный параметр. Ставится задача: исследовать спектр пучка операторов в левой части уравнения (1) при краевых условиях первой или второй задачи. Эта задача была поставлена в конце XIX века Эженом Коссера и Франсуа Коссера; ее исследованием в последние годы занимались автор настоящей статьи и В. Г. Мазья.
Основные результаты получены для упругой области
$\Omega$, конечной или бесконечной,
с достаточно гладкой конечной границей. В случае первой краевой задачи пучок операторов теории упругости имеет счетную систему собственных векторов, ортогональных в метрике интеграла Дирихле; эта система полна в каждом из пространств
$\overset{\circ}W_2^{(1)}(\Omega)$ и
$\L_2(\Omega)$. Собственные числа сгущаются к трем точкам
$\omega=-1,-2,\infty;$ точки
$\omega=-1$ и
$\omega=\infty$ суть изолированные собственные числа бесконечной кратности. Близкие результаты получаются и для второй краевой задачи. Существенное отличие состоит в том, что в данном случае собственные числа имеют еще одну точку сгущения
$\omega=0$, причем примеры показывают, что
$\omega=-2$ может и не быть точкой сгущения собственных чисел второй задачи.
УДК:
517.9:539.3
MSC: 74Bxx,
35J55,
35P05,
35A05 Поступила в редакцию: 26.01.1973