Поля инвариантов абелевых групп

Вопрос о рациональности полей инвариантов конечных групп преобразований, действующих линейно на конечномерном пространстве $V$, имеет уже долгую историю. До конца он не решен и к настоящему времени. Однако для абелевых групп преобразований в последнее время наметился значительный прогресс. Результаты уже близки к кончательным. В настоящей статье дается подробный обзор этих результатов, причем ряд фактов публикуется впервые. Изложение ведется с единой точки зрения, регулярно использующей технику алгебраических торов. Обсуждается также, в связи с этим, одна из проблем О. Зариского.