Предельно компактные и уплотняющие операторы

Статья содержит обзор исследований, группирующихся вокруг трех новых понятий: предельно компактного оператора, меры некомпактности и уплотняющего оператора. Мера некомпактности – это функция множества, инвариантная относительно перехода к замкнутой выпуклой оболочке множества. Если в пространстве задана некоторая мера некомпактности, то уплотняющий оператор определяется как оператор, который, грубо говоря, уменьшает меру некомпактности любого множества, замыкание которого не компактно. Более общее понятие предельно компактного оператора определяется с помощью одного свойства, общего для всех уплотняющих операторов и формулируемого в терминах, не связанных с мерами некомпактности. Теорию предельно компактных операторов можно рассматривать как одновременное обобщение теории вполне непрерывных и сжимающих операторов. Для нелинейных операторов основным результатом является построение теории вращения предельно компактных векторных полей и, в частности, доказательство ряда новых принципов неподвижной точки (глава 3 настоящей статьи). В теории линейных операторов получен ряд результатов, связанных с понятием фредгольмова оператора и фредгольмова спектра оператора (глава 2). Теория мер некомпактности и уплотняющих операторов нашла различные применения в общей топологии, обыкновенных дифференциальных уравнениях, функционально- дифференциальных уравнениях, уравнениях в частных производных, теории экстремумов функционалов и т. д. В статье приводится несколько примеров, относящихся к дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве и к функционально-дифференциальным уравнениям нейтрального типа. Впрочем, эти примеры не являются самоцелью, а служат лишь для иллюстрации методов. Поэтому они исследуются не на максимально возможном уровне общности и полноты.