О малых случайных возмущениях динамических систем

В работе изучается влияние на динамическую систему $\dot x_t=b(x_t)$ малых случайных возмущений типа белого шума:
$$ \dot x_t^\varepsilon=b^\varepsilon(x_t^\varepsilon)+\varepsilon\sigma(x_t^\varepsilon)\dot \xi_t, $$
где $\xi_t$ – $r$-мерный винеровский процесс, $b^\varepsilon(x)\to b(x)$ при $\varepsilon\to 0$. Основное внимание уделяется влиянию этих возмущений на больших отрезках времени, растущих с уменьшением $\varepsilon$. Рассматриваются две задачи: первая – о поведении инвариантной меры $\mu^\varepsilon$ процесса $x_t^\varepsilon$ при $\varepsilon\to 0$, вторая – о распределении положения траектории $x_t^\varepsilon$ в первый момент выхода из компактной области. Важную роль в этих задачах играет оценка вероятности того, что траектория процесса $x_t^\varepsilon$ за время $[0,T]$ не отклонится от некоторой гладкой функции $\varphi_t$ более чем на $\delta$. Оказывается, что при малых $\varepsilon$ и $\delta$ главный член этой вероятности имеет вид $\exp\bigl\{-\frac1{2\varepsilon^2}I(\varphi)\bigr\}$ где $I(\varphi)$ – некоторый неотрицательный функционал от $\varphi_t$.
Функция $V(x,y)$ – минимум $I(\varphi)$ по множеству функций $\varphi$, соединяющих точки $x$ и $y$, участвует в формулировке ответа на обе задачи.
С помощью функции $V(x,y)$ в фазовом пространстве вводится отношение эквивалентности (не зависящее от возмущений). При некоторых условиях в работе указывается точка фактор-пространства, на которой сосредоточивается в пределе инвариантная мера.
В обеих задачах изучаемый процесс приближается некоторой марковской цепью, и ответ зависит от поведения функции $V(x,y)$ на графах, связанных с этой цепью. Заметим, что вторая задача тесно связана с поведением решения задачи Дирихле с малым параметром при старших производных.