Существенная самосопряженность операторов типа Шрёдингера на многообразиях

Получено несколько условий существенной самосопряженности для оператора типа Шрёдингера $H_V=D^*D+V$, где $D$ – эллиптический дифференциальный оператор первого порядка, действующий в пространстве сечений эрмитова векторного расслоения $E$ на многообразии $M$ с положительной гладкой мерой $d\mu$, и $V$ – эрмитов эндоморфизм расслоений. Эти условия выражаются в терминах полноты некоторых метрик на $M$, естественно ассоциированных с $H_V$. Наши результаты обобщают теоремы Титчмарша, Сирса, Рофе–Бекетова, Олейника, Шубина и Леша. Априори не предполагается, что $M$ наделено полной римановой метрикой. Это позволяет рассматривать, например, операторы, действующие в ограниченных областях в $\mathbb R^n$ с мерой Лебега. Разрешаются также сингулярные потенциалы $V$. В частности, получено новое условие самосопряженности для оператора Шрёдингера в $\mathbb R^n$, потенциал которого имеет особенность кулоновского типа и может стремиться к $-\infty$ на бесконечности.
В специальном случае, когда главный символ оператора $D^*D$ скалярный, установлены более точные результаты для операторов с сингулярными потенциалами. Доказательства этих фактов основаны на усиленном неравенстве Като, которое является модификацией и улучшением результата Хесса, Шрадера и Уленброка.
Библиография: 93 названия.