Теорема о свободе в некоторых многообразиях линейных $\Omega$-алгебр и $\Omega$-колец

В работе изучаются свойства свободных и близких к ним линейных $\Omega$-алгебр над полем в многообразии $\mathfrak{M}_P$, заданном с помощью перестановочных тождеств. Примером таких тождеств в случае обычных линейных алгебр (с одной бинарной операцией) могут служить тождества коммутативности и антикоммутативности. Частным случаем таких тождеств будут также тождества, рассматриваемые в работе С. В. Полина [4].
Полученные в первых двух параграфах вспомогательные результаты дают возможность доказать для многообразия $\mathfrak{M}_P$ теорему о свободе, аналогичную теореме Дэна–Магнуса для групп [7], теореме А. И. Жукова для неассоциативных алгебр [2], теоремам А. И. Ширшова для коммутативных и антикоммутативных алгебр [5] и алгебр Ли [6]. При этом теоремы Жукова [2] и Ширшова [5] являются частными случаями получаемого утверждения. Отметим, что, хотя в общем случае подалгебра свободной алгебры многообразия $\mathfrak{M}_P$ может не быть свободной в этом многообразии, теорема о свободе справедлива для любого такого многообразия.
Известно, что для неассоциативных колец, в отличие от линейных алгебр, теорема о подкольце свободного кольца неверна уже в самом общем случае. В то же время, используя сопоставление $\Omega$-кольцу некоторой линейной $\Omega$-алгебры над полем рациональных чисел, в § 3 получена также теорема о свободе для $\Omega$-колец.
Автор выражает благодарность А. Г. Курошу за ценные советы и замечания, сделанные в процессе работы, и помощь при подготовке рукописи к печати.