Различные определения производной в линейных топологических пространствах

Основная цель этой статьи – дать обзор существующих определений операций дифференцирования в линейных топологических пространствах (л.т.п.) с указанием связей между ними.
К настоящему времени предложено свыше двух десятков определений производной отображения одного л.т.п. в другое. Формулировки этих определений внешне совершенно различны, причем авторы, предлагавшие их, как правило, не заботились об установлении связи вновь вводимых определений с ранее известными. Все это создает впечатление некоторого хаоса.
Два существующих обзора по теории дифференцирования в л.т.п. не меняют этого впечатления. Первый из них, написанный Хайерсом, является частью его статьи по л.т.п. вышедшей в 1945 г., и уже устарел. Второй, принадлежащий Келлеру, был опубликован в 1964 г. Однако этот обзор не полон. Во-первых, в нем перечислены далеко не все известные к тому времени определения; во-вторых, рассматриваются лишь локально выпуклые л.т.п.; в-третьих, связи между теми определениями, которые приводятся,описаны недостаточно полно.
Оказывается – и это действительно замечательный факт, – что на самом деле все предложенные до сих пор определения производной можно разбить на небольшое число групп, состоящих из эквивалентных определений, причем существует простая схема взаимосвязей этих групп. Данная статья непосредственно примыкает к нашей статье [1]. Однако основная цель последней была иная – дать систематическое изложение дифференциального исчисления в л.т.п. Это изложение ведется на основе одного определения производной, представлявшегося нам наиболее удачным. (Впрочем, многие результаты не зависят от того, какое именно определение кладется в основу.) Лишь во введении к статье [1] дан краткий перечень некоторых определений производной и приведена (без доказательств) таблица связей между ними. Таким образом, настоящая статья и статья [1] взаимно дополняют друг друга и в совокупности составляют единое целое.
Общее представление о содержании статьи можно получить из оглавления. Сделаем несколько замечаний.
Вначале дается исторический очерк развития понятия производной с 1887 г. по настоящее время. Затем приводится список всех предлагавшихся определений производной (таблица 1). Далее эти определения разбиваются на группы эквивалентных друг другу определений. Перечень неэквивалентных определений приводится в таблице 2. Взаимоотношения между ними указаны на схеме. Таблица 3 содержит перечень контрпримеров, показывающих, что никакие импликации, кроме указанных в таблице, не имеют места.
Все рассматриваемые в статье л.т.п. предполагаются отделимыми л.т.п, над полем $\mathbf R$ вещественных чисел.
Для чтения статьи достаточно, помимо сведений, даваемых на первых трех курсах университета, знания самых начальных фактов из теории л.т.п., например, в объеме гл. 9 книги Канторовича и Акилова (1959 г.).