Стинродовские гомотопии

Теория стинродовских гомотопий занимается построением алгебраической топологии общих пространств в терминах алгебраической топологии полиэдров; а с другой точки зрения – изучением топологии функтора $\lim^1$ (для обратных последовательностей групп). В настоящей статье наибольшее внимание уделено случаю компактов, в котором стинродовские гомотопии совпадают с сильным шейпом. Предпринята попытка упростить основания теории и прояснить и усилить некоторые из ее главных результатов.
Используя геометрические методы, такие как компактифицированный телескоп Милнора, комногообразия (mock bundles) и конструкцию Понтрягина–Тома, мы получаем новые простые доказательства теорем Баррата–Милнора, Гэгана–Красинкевича, Дыдака, Дыдака–Сигала, Красинкевича–Минца, Кэйти, Мардешича, Миттаг-Леффлера–Бурбаки, Фокса, Эды–Кавамуры, Эдвардса–Гэгана, Юссилы и трех неопубликованных теорем Щепина. Исправлена ошибка в доказательстве Лисицы “теоремы Гуревича для стинродовских гомотопий”. Показано, что над компактами наложения (overlays) в смысле Фокса эквивалентны равномерным накрытиям в смысле Джеймса. В числе других результатов выделим следующие.
– Морфизм между обратными последовательностями счетных (быть может, неабелевых) групп, индуцирующий изоморфизмы на $\lim$ и $\lim^1$, обратим в про-категории. Это влечет “теорему Уайтхеда для стинродовских гомотопий”, тем самым доставляя ответ на два вопроса А. Коямы.
– Если $X$ – локально $(n-1)$-связный компакт, $n\geqslant 1$, то его $n$-мерные стинродовские гомотопические классы представимы отображениями $S^n\to X$ при условии, что $X$ односвязен. Предположение односвязности нельзя опустить в силу известного примера Дыдака и Здравковской.
– Связный компакт связен по Стинроду (pointed $1$-movable), если и только если всякое его равномерное накрывающее пространство имеет счетное количество компонент равномерной связности.
Библиография: 117 названий.