RUS  ENG
Полная версия
ЖУРНАЛЫ // Успехи математических наук // Архив

УМН, 2010, том 65, выпуск 4(394), страницы 153–178 (Mi rm9362)

Эта публикация цитируется в 6 статьях

Проблема Рисса–Радона–Фреше характеризации интегралов

В. К. Захаровab, А. В. Михалёвb, Т. В. Родионовa

a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
b Центр новых информационных технологий МГУ им. М. В. Ломоносова

Аннотация: Статья посвящена обзору результатов, связанных с задачей характеризации интегралов как линейных функционалов. Она восходит к известному результату Ф. Рисса (1909) об интегральном представлении ограниченных линейных функционалов интегралами Римана–Стилтьеса на отрезке и напрямую связана со знаменитой теоремой И. Радона (1913) об интегральном представлении ограниченных линейных функционалов интегралами Лебега на компакте в $\mathbb R^n$. После работ И. Радона, М. Фреше и Ф. Хаусдорфа задача характеризации интегралов как линейных функционалов стала конкретизироваться как задача распространения теоремы Радона с $\mathbb R^n$ на более общие топологические пространства с радоновскими мерами. Эта задача оказалась трудной, и ее решение имеет долгую и богатую историю. Поэтому ее естественно называть проблемой Рисса–Радона–Фреше характеризации интегралов. Важные этапы ее решения связаны с именами С. Банаха (1937–1938), С. Сакса (1937–1938), С. Какутани (1941), П. Халмоша (1950), Э. Хьюитта (1952), Р. Эдвардса (1953), Ю. В. Прохорова (1956), Н. Бурбаки (1969) и др. Существенные идейные и технические средства были разработаны А. Д. Александровым (1940–1943), М. Стоуном (1948–1949), Д. Фремлином (1974) и др. Большая часть статьи посвящена современному этапу решения проблемы, связанному с работами Х. Кёнига (1995–2008), В. К. Захарова и А. В. Михалёва (1997–2009) и др. Общее решение проблемы изложено в виде параметрической теоремы о характеризации интегралов, из которой непосредственно следуют характеризационные теоремы указанных авторов.
Библиография: 60 названий.

Ключевые слова: радоновская мера, регулярная мера, радоновский интеграл, симметризуемые функции, узкий функционал, бимеры.

УДК: 517.987.1+517.982.3+517.518.1

MSC: Primary 28C05; Secondary 28A25, 28C15

Поступила в редакцию: 25.02.2010

DOI: 10.4213/rm9362


 Англоязычная версия: Russian Mathematical Surveys, 2010, 65:4, 741–765

Реферативные базы данных:


© МИАН, 2024