Универсальность случайных матриц Вигнера: обзор последних результатов

Мы изучаем свойства универсальности спектральных статистик больших случайных матриц. Рассматриваются симметрические, эрмитовы или кватернионные самодвойственные случайные матрицы с независимыми одинаково распределенными элементами (матрицы Вигнера), причем распределение вероятностей каждого матричного элемента задается мерой $\nu$ с нулевым математическим ожиданием и субэкспоненциальным убыванием. Наш основной результат заключается в том, что корреляционные функции локальных статистик собственных значений внутри спектра совпадают с корреляционными функциями гауссова ортогонального ансамбля (ГОА), гауссова унитарного ансамбля (ГУА) и гауссова симплектического ансамбля (ГСА) соответственно, в пределе при $N\to \infty$. Наш подход основан на изучении броуновского движения Дайсона при помощи соответствующей новой динамики – локального релаксационного потока.
Главным средством доказательства является утверждение о том, что плотность собственных значений сходится к полукруговому закону Вигнера, и это имеет место даже для наименьшего возможного порядка величин; более того, мы показываем, что собственные векторы полностью делокализуются. Эти результаты справедливы даже при отсутствии условия одинаковой распределенности матричных элементов, требуется лишь их независимость. Мы даем сильные оценки на матричные элементы функции Грина, при выполнении которых локальные статистики двух ансамблей совпадают внутри спектра при совпадении первых четырех моментов матричных элементов. Универсальность на границах спектра требует совпадения лишь двух моментов. Мы также доказываем оценки типа Вегнера и тот факт, что собственные значения отталкивают друг друга при произвольно малых порядках величин.
Библиография: 108 названий.