Дискретные $SL_n$-связности и самосопряженные разностные операторы на двумерных многообразиях

Программа построения дискретных аналогов знаменитых вполне интегрируемых систем и ассоциированных с ними линейных операторов начала реализовываться в 1990-е годы. В частности, свойства разностных операторов второго порядка на триангулированных многообразиях и правильных треугольных решетках изучались в работах С. П. Новикова и И. А. Дынникова начиная с 1996 г. При этом исследовались так называемые преобразования Лапласа, новые дискретизации комплексного анализа и новые дискретизации $GL_n$-связностей на триангулированных $n$-мерных многообразиях. Была развита общая теория дискретных $GL_n$-связностей “ранга один” (см. определение во введении). Задача выделения подкласса $SL_n$-связностей (и унимодулярных $SL_n^{\pm}$-связностей, удовлетворяющих условию $\det A=\pm 1$) решена не была. Как показано в настоящей работе, эти связности играют важную роль в теории самосопряженных разностных операторов Шрёдингера на правильных треугольных решетках в $\mathbb{R}^2$, аналогичную роли магнитных полей в непрерывном случае. В приложении 1 нами найдена полная характеризация унимодулярных $SL_n^{\pm}$-связностей ранга 1 для всех $n>1$ и тем самым исправлена ошибка (мы утверждали ранее, что при $n>2$ они сводятся к канонической связности). Основываясь на информации, сообщенной нам И. Г. Корепановым, мы полностью проясняем связь классической теории электрических цепей и преобразования звезда-треугольник с дискретными преобразованиями Лапласа на треугольных решетках.
Библиография: 29 названий.