Когомологическая жёсткость многообразий, задаваемых трёхмерными многогранниками

Семейство замкнутых многообразий называется когомологически жёстким, если изоморфизм колец когомологий влечёт диффеоморфизм для любых двух многообразий из этого семейства. В центре внимания обзора – результаты о когомологической жёсткости для широких семейств шестимерных и трёхмерных многообразий, задаваемых трёхмерными многогранниками. Рассматривается класс $\mathscr{P}$ трёхмерных комбинаторных простых многогранников $P$, отличных от тетраэдра, грани которых не образуют $3$- и $4$-поясов. Этот класс содержит все математические фуллерены, т. е. простые трёхмерные многогранники, имеющие лишь пятиугольные и шестиугольные грани. Согласно теореме Погорелова, многогранник из класса $\mathscr{P}$ допускает прямоугольную реализацию в пространстве Лобачевского, которая единственна с точностью до изометрии. Изучаемые семейства гладких многообразий ассоциированы с многогранниками из класса $\mathscr{P}$. Первое семейство составляют трёхмерные малые накрытия над многогранниками из $\mathscr{P}$ или, эквивалентно, гиперболические 3-многообразия типа Лёбелля. Второе семейство состоит из шестимерных квазиторических многообразий над многогранниками из $\mathscr{P}$. Наш основной результат заключается в том, что оба эти семейства являются когомологически жёсткими, т. е. два многообразия $M$ и $M'$ из любого из этих семейств диффеоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны их кольца когомологий. Более того, доказывается, что если $M$ и $M'$ диффеоморфны, то соответствующие многогранники $P$ и $P'$ комбинаторно эквивалентны. Эти результаты переплетаются с классическими сюжетами геометрии и топологии, которые составили обзорную часть нашей статьи. Речь идёт о комбинаторике трёхмерных многогранников, теореме о четырёх красках, асферических многообразиях, классификации гладких шестимерных многообразий и инвариантности классов Понтрягина. Доказательства в основной части статьи используют технику торической топологии.
Библиография: 68 названий.