Эта публикация цитируется в
10 статьях
Топологический подход к обобщенной задаче $n$ центров
С. В. Болотин,
В. В. Козлов Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук,
Аннотация:
Рассматриваются натуральные гамильтоновы системы с двумя степенями свободы и гамильтонианом
$H=\|p\|^2/2+V(q)$. Конфигурационное пространство
$M$ – замкнутая поверхность (для некомпактного
$M$ требуются некоторые условия на бесконечности). Хорошо известно, что если потенциальная энергия
$V$ имеет
$n>2\chi(M)$ особых точек ньютонова типа, то система не интегрируема и имеет положительную топологическую энтропию на уровне энергии
$H=h>\sup V$. В настоящей работе это утверждение обобщается на случай, когда
$V$ имеет несколько особых точек
$a_j$ типа $V(q)\sim {-}\!\operatorname{dist}(q,a_j)^{-\alpha_j}$. Положим
$A_k=2-2/k$,
$k\in\mathbb{N}$, и пусть
$n_k$ – число особых точек таких, что
$A_k\leqslant \alpha_j<A_{k+1}$. В работе доказано, что если
$$
\sum_{2\leqslant k\leqslant\infty}n_kA_k>2\chi(M),
$$
то система имеет компактное хаотическое инвариантное множество траекторий без столкновений на любом уровне энергии
$H=h>\sup V$. Это утверждение чисто топологическое: оно не использует никаких аналитических свойств потенциальной энергии, кроме наличия особых точек. Доказательства основаны на обобщенной регуляризации Леви-Чивиты и элементарной топологии накрытий. В качестве примера рассмотрена плоская задача
$n$ центров.
Библиография: 29 названий.
Ключевые слова:
гамильтонова система, интегрируемость, особая точка, степень особой точки, регуляризация Леви-Чивиты, финслерова метрика, накрытие, траектория без столкновений, хаотическое инвариантное множество, метрическое пространство, метрика Якоби.
УДК:
517.913+531.01
MSC: Primary
70F10; Secondary
37N05,
70G40 Поступила в редакцию: 25.04.2017
DOI:
10.4213/rm9779