Эта публикация цитируется в
7 статьях
Исчисление для схем рефлексии и спектры консервативности
Л. Д. Беклемишев Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Аннотация:
Строго позитивные логики в последнее время привлекают внимание специалистов благодаря их сочетанию эффективности и приемлемой выразительности. Язык исчисления рефлексий
$\mathrm{RC}$ состоит из импликаций между формулами, составленными из пропозициональных переменных и константы “истина” лишь с помощью связки конъюнкции и модальностей, интерпретируемых в арифметике Пеано как ограниченные равномерные схемы рефлексии. Мы расширяем язык
$\mathrm{RC}$ дополнительным семейством модальностей, соответствующих операторам, которые сопоставляют данной арифметической теории
$T$ её фрагмент, аксиоматизированный всеми теоремами
$T$ арифметической сложности
$\Pi^0_n$ для каждого
$n>0$. Мы показываем, что эти операторы, в некотором точном смысле, не представимы в полном языке модальной логики. Мы формулируем модальную систему
$\mathrm{RC}^\nabla$, расширяющую
$\mathrm{RC}$, которая корректна и, по нашей гипотезе, полна относительно указанной интерпретации. Показано, что в этой системе выразимы итерации схем рефлексии вплоть до любого ординала
$<\varepsilon_0$. Далее, мы предлагаем нормальную форму для формул фрагмента
$\mathrm{RC}^\nabla$ без переменных. На основе нормальных форм показывается алгоритмическая разрешимость данного фрагмента и его полнота относительно арифметической семантики. В заключительной части работы рассматриваются несколько естественных характеризаций алгебры Линденбаума–Тарского для замкнутого фрагмента
$\mathrm{RC}^\nabla$ и для её двойственной шкалы Крипке. Элементы этой алгебры находятся в естественном соответствии с последовательностями теоретико-доказательственных
$\Pi^0_{n+1}$-ординалов для ограниченных фрагментов арифметики Пеано, так называемых
спектров консервативности, а также с точками известной модели Крипке, введённой К. Н. Игнатьевым.
Библиография: 46 названий.
Ключевые слова:
строго позитивная модальная логика, RC, схема рефлексии, консервативность, ординал.
УДК:
510.2+
510.6
MSC: Primary
03F45; Secondary
03B45,
03G25 Поступила в редакцию: 14.04.2018
DOI:
10.4213/rm9843