RUS  ENG
Полная версия
ЖУРНАЛЫ // Успехи математических наук // Архив

УМН, 2018, том 73, выпуск 4(442), страницы 3–52 (Mi rm9843)

Эта публикация цитируется в 7 статьях

Исчисление для схем рефлексии и спектры консервативности

Л. Д. Беклемишев

Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук

Аннотация: Строго позитивные логики в последнее время привлекают внимание специалистов благодаря их сочетанию эффективности и приемлемой выразительности. Язык исчисления рефлексий $\mathrm{RC}$ состоит из импликаций между формулами, составленными из пропозициональных переменных и константы “истина” лишь с помощью связки конъюнкции и модальностей, интерпретируемых в арифметике Пеано как ограниченные равномерные схемы рефлексии. Мы расширяем язык $\mathrm{RC}$ дополнительным семейством модальностей, соответствующих операторам, которые сопоставляют данной арифметической теории $T$ её фрагмент, аксиоматизированный всеми теоремами $T$ арифметической сложности $\Pi^0_n$ для каждого $n>0$. Мы показываем, что эти операторы, в некотором точном смысле, не представимы в полном языке модальной логики. Мы формулируем модальную систему $\mathrm{RC}^\nabla$, расширяющую $\mathrm{RC}$, которая корректна и, по нашей гипотезе, полна относительно указанной интерпретации. Показано, что в этой системе выразимы итерации схем рефлексии вплоть до любого ординала $<\varepsilon_0$. Далее, мы предлагаем нормальную форму для формул фрагмента $\mathrm{RC}^\nabla$ без переменных. На основе нормальных форм показывается алгоритмическая разрешимость данного фрагмента и его полнота относительно арифметической семантики. В заключительной части работы рассматриваются несколько естественных характеризаций алгебры Линденбаума–Тарского для замкнутого фрагмента $\mathrm{RC}^\nabla$ и для её двойственной шкалы Крипке. Элементы этой алгебры находятся в естественном соответствии с последовательностями теоретико-доказательственных $\Pi^0_{n+1}$-ординалов для ограниченных фрагментов арифметики Пеано, так называемых спектров консервативности, а также с точками известной модели Крипке, введённой К. Н. Игнатьевым.
Библиография: 46 названий.

Ключевые слова: строго позитивная модальная логика, RC, схема рефлексии, консервативность, ординал.

УДК: 510.2+510.6

MSC: Primary 03F45; Secondary 03B45, 03G25

Поступила в редакцию: 14.04.2018

DOI: 10.4213/rm9843


 Англоязычная версия: Russian Mathematical Surveys, 2018, 73:4, 569–613

Реферативные базы данных:


© МИАН, 2024