Аннотация:
Основываясь на понятии резольвенты и тождествах Гильберта, мы излагаем с единой точки зрения ряд классических результатов теории дифференциальных операторов и некоторые их приложения к теории автоморфных функций и теории чисел. Так, для оператора Штурма–Лиувилля приведен вывод формулы следов Гельфанда–Левитана, а для одномерного оператора Шрёдингера – вывод формулы Л. Д. Фаддеева для характеристического определителя и тождеств следов Захарова–Фаддеева. Далее излагаются недавно полученные результаты из спектральной теории одного функционально-разностного оператора, возникающего в конформной теории поля. Последний раздел обзора посвящен оператору Лапласа на фундаментальной области фуксовой группы первого рода на плоскости Лобачевского. Приводится алгебраическая схема доказательства аналитического продолжения ядра резольвенты оператора Лапласа и рядов Эйзенштейна–Мааса. В заключение обсуждается связь значений рядов Эйзенштейна–Мааса в точках Хегнера с дзета-функциями Дедекинда мнимых квадратичных полей и объясняется, почему использование псевдопараболических форм для случая модулярной группы не дает никакой информации о нулях дзета-функции Римана.
Библиография: 50 названий.
Ключевые слова:резольвента оператора, характеристический определитель оператора, тождества Гильберта, оператор Штурма–Лиувилля, формула следов Гельфанда–Левитана, оператор Шрёдингера, функционально-разностный оператор, оператор Лапласа на плоскости Лобачевского, разложение по собственным функциям, решения Йоста, тождества следов Захарова–Фаддеева, ряды Эйзенштейна–Мааса, дзета-функции мнимых квадратичных полей, дзета-функция Римана.
Полный текст:
PDF файл (843 kB)
