Распределение Дикмана–Гончарова

В 30-е и 40-е годы двадцатого века в работах двух математиков – Карла Дикмана и Василия Леонидовича Гончарова, – занимавшихся совершенно разными задачами, возникло одно и то же уравнение с запаздыванием. В то время как в оригинальной статье Дикмана исследовалось предельное значение количества натуральных чисел без больших делителей, работа Гончарова была посвящена анализу асимптотики длины максимального цикла в разложении случайной подстановки.
Полученное в этих работах уравнение при некотором начальном условии задаёт плотность вероятностного распределения, называемого теперь распределением Дикмана–Гончарова (ДГ; термин впервые предложен в 1986 г. А. М. Вершиком). В последнее время появился целый ряд совершенно новых приложений распределения ДГ как в математике (случайные блуждания на разрешимых группах, теория случайных графов и т. д.), так и в биологии (модели роста и эволюции одноклеточных популяций), финансах (теория экстремальных явлений в финансах и страховом деле), физике (модель случайных энергетических уровней) и других областях.
Несмотря на обширную область применения этого распределения и более общих, но родственных моделей, все математические аспекты данной тематики (например, свойства безграничной делимости и абсолютной непрерывности) почти не известны даже среди специалистов по предельным теоремам. Предлагаемый обзор призван заполнить эту лакуну. В нём представлены как уже опубликованные результаты, так и новые факты.
Библиография: 62 названия.