Оценивание параметров смеси нормальных многомерных распределений с ограничениями на ковариационные матрицы

Рассматриваются постановка и метод решения задачи нахождения оценки максимального правдоподобия параметров смеси нормальных многомерных распределений, позволяющих исключить возникновение «бесконечно» больших значений функции правдоподобия. Предлагается обусловить множество возможных ковариационных матриц так, чтобы они не становились сингулярными. Для этого вводится ограничение $\lambda_0$ для собственных чисел оцениваемых ковариационных матриц элементов смеси. Коррекция малых собственных чисел, меньших $\lambda_0$, ковариационных матриц элементов смеси позволяет нейтрализовать возникающие вычислительные проблемы с неограниченностью правдоподобия, правда, ценой достаточно трудоемкой процедуры замены в случае необходимости собственных чисел ковариационных матриц на каждом шаге итерационного EM-алгоритма. Обоснование правомерности предлагаемых решений позволяет не только получить детальное описание соответствующих действий, но и предложить варианты выбора нового дополнительного параметра элементов смеси $\lambda_0$. Оценивание параметров смеси при ограничениях решает в первую очередь вычислительные проблемы, но может влиять на эффективность использования оценки смеси. Это иллюстрируется на примере задачи классификации данных.