Аннотация:
Для нелинейного дифференциального уравнения, главная часть которого представляет собой волновой оператор, рассматривается обратная задача об определении коэффициента при нелинейном члене уравнения. Предполагается, что искомый коэффициент представляет
собой непрерывную и финитную в $\mathbb{R}^3$ функцию. Для исходного уравнения рассматриваются плоские волны, падающие на неоднородность под разными углами.
В обратной задаче предполагается, что решения, отвечающие этим волнам, могут быть измерены в точках границы некоторого шара, содержащего неоднородность, в моменты времени близкие к приходу в эти точки фронта волны, и для некоторого диапазона углов падения плоских волн на неоднородность. Показано, что решения соответствующих прямых задач для дифференциального уравнения ограничены в некоторой окрестности фронта волны, найдено асимптотическое разложение решения в этой окрестности. На основе этого разложения установлено, что задаваемая в обратной задаче информация позволяет свести проблему отыскания искомой функции к задаче рентгеновской томографии с неполными данными. Сформулирована и доказана теорема об однозначности решения обратной задачи. Показано, что в алгоритмическом отношении эта задача редуцируется к хорошо известной проблеме моментов.