Установившиеся колебания в непрерывно-неоднородной среде, описываемые обобщенным уравнением Дарбу

Детализирован результат л. в. овсянникова об общем виде линейных дифференциальных уравнений второго порядка с ненулевым обобщенным инвариантом лапласа, допускающих группу ли преобразований максимального порядка с $n>2$ независимыми переменными, для которых ассоциированные с ними римановы пространства имеет ненулевую кривизну. показано, что множество таких уравнений исчерпывается обобщенным уравнением дарбу и уравнением овсянникова. найдены операторы, действующие на множестве решений внутри каждого однопараметрического семейства обобщенных уравнений дарбу. для эллиптического обобщенного уравнения дарбу, обладающего максимальной симметрией и описывающего установившиеся колебания в непрерывно-неоднородной среде с гиперплоскостью вырождения, методами группового анализа получены точные решения краевых задач для некоторых областей (обобщенные формулы пуассона), которые, в частности, могут выступать в качестве тестовых решений при расчетах установившихся колебаний в непрерывно-неоднородных средах.