Сеточные аппроксимации с улучшенной скоростью сходимости для сингулярно возмущенных эллиптических уравнений в областях с характеристическими границами

На прямоугольнике рассматривается задача Дирихле для сингулярно возмущенных эллиптических уравнений с конвективными членами в случае характеристик вырожденных уравнений, параллельных сторонам. Для таких задач конвекции-диффузии равномерная по возмущающему параметру $\varepsilon$ скорость сходимости хорошо известных специальных схем на кусочно-равномерных сетках не выше первого порядка (в равномерной $L_{\infty}$-норме). Для указанной задачи на основе асимптотических разложений решений строятся схемы, сходящиеся $\varepsilon$ -равномерно со скоростью $\mathscr O(N^{-2}\ln^2N)$, где $N$ характеризует число узлов сетки по каждой переменной. При не слишком малых значениях параметра применяются классические разностные аппроксимации на кусочно-равномерных сетках, сгущающихся в пограничных слоях; при малых значениях параметра используются аппроксимации вспомогательных задач, описывающих главные члены асимптотических представлений решения в окрестности пограничного слоя и вне его. Отметим, что вычисление решений построенной разностной схемы упрощается при достаточно малых значениях параметра $\varepsilon$.