RUS  ENG
Полная версия
ЖУРНАЛЫ // Сибирский журнал вычислительной математики // Архив

Сиб. журн. вычисл. матем., 2023, том 26, номер 2, страницы 161–181 (Mi sjvm836)

Формулы оценки ошибок и их анализ для CG, Bi-CG и GMRES

П. Джайн, К. Манглани, М. Венкатапати

Department of Computational and Data Sciences, Indian Institute of Science, Bangalore, 560012, India

Аннотация: Современные требования к точности в измерениях и инженерных моделях увеличивают число обусловленности задач. В то время как увеличение точности чисел с плавающей запятой привело к стабильным вычислениям, увеличилась неопределенность в вопросе сходимости при использовании невязки в качестве критерия остановки. Мы представляем анализ неопределенности сходимости при использовании относительной невязки в качестве критерия остановки для итеративного решения линейных систем, а также получаемое увеличение/уменьшение вычислений при заданной допустимой погрешности. Это показывает, что оценка ошибки важна для эффективного или точного решения, даже когда число обусловленности матрицы невелико. Формула оценки ошибки $\mathcal{O}(1)$ для итераций алгоритма CG была предложена более двух десятилетий назад. Недавно формула оценки ошибки $\mathcal{O}(k^2)$ была описана для алгоритма GMRES, который допускает также несимметричные линейные системы, где $k$ — номер итерации. Мы предлагаем небольшую модификацию этой оценки ошибки GMRES для повышения устойчивости. В данной работе мы также предлагаем формулу оценки ошибки $\mathcal{O}(n)$ для $A$-нормы и $l_2$-нормы вектора ошибки в алгоритме Bi-CG. Надежная работа этих оценок в качестве критерия остановки увеличивает экономию и точность вычислений по мере увеличения числа обусловленности и размера задач.

Ключевые слова: ошибка, критерии остановки, число обусловленности, сопряженные градиенты, Bi-CG, GMRES.

MSC: 65F10, 65G99

Статья поступила: 07.02.2022
Переработанный вариант: 10.09.2022

DOI: 10.15372/SJNM20230204



© МИАН, 2024