Как происходит потеря юнитоидной матрицей свойства юнитоидности?

Юнитоидом называется квадратная матрица, которая может быть приведена к диагональному виду посредством конгруэнтного преобразования. Среди различных диагональных форм юнитоида $A$ имеется лишь одна (с точностью до порядка, принятого для главной диагонали), все ненулевые диагональные элементы которой суть числа с модулем $1$. Она называется канонической формой матрицы $A$ относительно конгруэнций, а аргументы ее ненулевых диагональных элементов называются каноническими углами этой матрицы. Если $A$ не вырождена, то ее канонические углы тесно связаны с собственными значениями матрицы $A^{-*}A$, называемой коквадратом матрицы $A$.
Хотя определение юнитоида напоминает понятие диагонализуемой матрицы в теории подобий, кажущаяся аналогия между этими двумя матричными классами обманчива. Мы показываем, что жорданова клетка $J_n(1)$, которая в теории подобий рассматривается как антипод диагонализуемости, является юнитоидом. Более того, ее коквадрат $C_n(1)$ имеет $n$ различных унимодулярных собственных значений. Мы погружаем матрицу $J_n(1)$ в семейство жордановых клеток $J_n(\lambda)$ с параметром $\lambda$, меняющимся в диапазоне $(0, 2]$. В некоторой точке, расположенной левее единицы, $J_n(\lambda)$ перестает быть юнитоидной матрицей. Мы подробно обсуждаем этот момент в попытке понять, как может произойти подобная трансформация. Обсуждаются и аналогичные моменты, соответствующие меньшим значениям $\lambda$. Указаны некоторые примечательные факты, связанные с собственными значениями коквадратов и числами обусловленности этих значений.