Симметрии и топология динамических систем с двумя степенями свободы

Рассматривается задача о геодезических линиях на замкнутой двумерной поверхности и некоторые ее обобщения, связанные с добавлением гироскопических сил. Изучаются однопараметрические группы симметрий в четырехмерном фазовом пространстве, порожденные векторными полями, коммутирующими с исходным гамильтоновым векторным полем. Если род поверхности больше единицы, то нетривиальных симметрий нет. Для поверхности рода один (двумерный тор) установлено, что если имеется дополнительный полиномиальный по скоростям интеграл, четный или нечетный по каждой составляющей скорости, то найдется полиномиальный интеграл первой или второй степени. Для поверхности рода нуль приведены примеры нетривиальных интегралов третьей и четвертой степени. Изучены поля симметрий первой и второй степени. Их наличие связано с существованием скрытых циклических координат и разделенных переменных. Исследовано влияние гироскопических сил на существование полей симметрий с полиномиальными компонентами.
Библиография: 9 названий.