Следы функций с пространственноподобными графиками и задача о продолжении при ограничениях на градиент

Пусть $D\subset\mathbb R^n$ – область и пусть с каждой точкой $x\in D$ соотнесено множество $\Xi(x)$ из $\mathbb R^n$. Ставится задача об отыскании условий, при которых функция $\varphi(x)$, заданная на границе $\partial D$ может быть продолжена до $C^1$-функции $f(x)$, определенной в области $D$, и такой, что градиент $\nabla f(x)\in \Xi(x)$.
Приводится решение указанной задачи для случая, в котором $\Xi (x)$ – непрерывное распределение ограниченных выпуклых множеств. Дается приложение к задаче об описании следа функции с пространственноподобным графиком в искривленном лоренцевом произведении.
Библиография: 9 названий.