Об оценках сверху частных сумм тригонометрического ряда через оценки снизу

Пусть $\{a_k\}^\infty_{k=0}$ и $\{b_k\}^\infty_{k=0}$ – последовательности действительных чисел и
$$ S_n(x)=\sum^n_{k=0}\bigl(a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\bigr),\qquad n=0,1,\dotsc\,. $$
В работе доказывается, что для каждого натурального $n$, для которого выполнено условие $S_m(x)\geqslant 0$ при всех $x$ и $m=1,\dots,n$, справедлива оценка
$$ \max_x S_n(x)\leqslant 4a_0 n^{1-\alpha}, $$
где $\alpha\in (0,1)$ – единственный корень уравнения
$$ \int^{3\pi /2}_0 t^{-\alpha}\cos t\,dt=0. $$
Показывается, что порядок $n^{1-\alpha}$ в этом утверждении улучшить нельзя. Получаются также различные обобщения сформулированного результата.
Библиография: 10 названий.