Преобразование Гильберта и экспоненциальные интегральные оценки прямоугольных частичных сумм двойных рядов Фурье

Получена новая интегральная оценка для прямоугольных частичных сумм двойных рядов Фурье.
Главным результатом работы является следующая
Теорема. {\it Для любых $f\in L\log L(\mathbf T^2)$ и $\delta>0$ существует множество $E_{\delta,f}\in\mathbf T^2$, $|E_{\delta,f}|>(2\pi)^2-\delta$, такое, что}
$$ \begin{aligned} &1)\quad \int_{E_{\delta,f}}\exp\biggl[\frac{c_1\delta|S_{N,M}(x,y,f)|}{\|f\|_{L\log L(\mathbf T^2)}}\biggr]^{1/2}\,dx\,dy\leqslant C_2, \qquad N,M=1,2,\dots, \\ &2)\quad \lim_{N,M\to\infty}\int_{E_{\delta,f}}\bigl[\exp(|S_{N,M}(x,y,f)-f(x,y)|)^{1/2}-1\bigr]\,dx\,dy=0. \end{aligned} $$

Из этой теоремы следуют оценки почти всюду для прямоугольных сумм двойных рядов Фурье, а также сходимость в $L^p$ на множествах большой меры.
Библиография: 9 названий.