О сходимости в метрике $L^1$ и почти всюду рядов Фурье по полным ортонормированным системам

Доказывается, что если $\{\varphi_n(x)\}$ – полная ортонормированная система ограниченных функций и $\varepsilon>0$, то существует измеримое множество $E\subset[0,1]$ с $|E|>1-\varepsilon$ такое, что
1) для любой функции $f(x)\in L[0,1]$ можно найти функцию $g(x)\in L^1[0,1]$, $g(x)=f(x)$ на $E$ такую, что ряд Фурье по системе $\{\varphi_n(x)\}$ функции $g(x)$ сходится в метрике $L^1$;
2) существует подпоследовательность натуральных чисел $m_k\nearrow\infty$ такая, что для любой функции $f(x)\in L^1[0,1]$ можно найти функцию $g(x)\in L^1[0,1]$ такую, что $g(x)=f(x)$, $x\in E$, $\displaystyle\lim_{k\to\infty}\sum\limits_{n=1}^{m_k}\alpha_n(g)\varphi_n(x)=g(x)$ почти всюду на $[0,1]$ и для всех $p>2$ $\{\alpha_n(g)\}\in l_p$, $\displaystyle\alpha_n(g)=\int_0^1g(x)\varphi_n(x)\,dx$, $n=1,2\dots$ .