Мультипликативные неравенства для производных и априорные оценки гладкости решений нелинейных дифференциальных уравнений

В работе доказываются неравенства вида: если $x\in C^n[a,b]$ – произвольная функция, $r=(\alpha_1\cdot1+\dots+\alpha_n\cdot n)/(\alpha_0+\dots+\alpha_n)$, то
$$ \|x^{(r)}\|_C\leqslant c\bigl\||x|^{\alpha_0}|x'|^{\alpha_1}\cdot\ldots\cdot|x^{(n)}|^{\alpha_n}\bigr\|_C, $$
где $c$ зависит только от $\alpha_0,\dots,\alpha_n$. Показатель $r$ является предельным. На основании неравенств строятся теоремы вложения классов решений нелинейных сингулярных дифференциальных уравнений в пространстве $r$ раз дифференцируемых функций.