Влияние формы функций на порядки кусочно полиномиальной и рациональной аппроксимации

Пусть $\Delta^s_+$ — множество функций $x\colon I\to\mathbb R$ на конечном интервале $I$ таких, что разделенные разности $[x;t_0,\dots,t_s]$ порядка $s\in\mathbb N$ этих функций являются неотрицательными для всех наборов из $s+1$ различных точек $t_0,\dots,t_s\in I$. Пусть $\Sigma_{r,n}=\{\sigma_{r,n}\}$ — множество кусочно полиномиальных сплайнов $\sigma_{r,n}$ порядка $r$ с $n-1$ свободными узлами, а $R_n=\{\rho_n\}$ — множество рациональных функций $\rho_n=\widehat\pi_n/\check\pi_n$, где $\widehat\pi_n$ и $\check\pi_n$ — многочлены порядка $n$. Для классов $\Delta^s_+B_p:=\Delta^s_+\cap B_p$, где $B_p$ — единичный шар в $L_p$, установлены точные порядки
$$ E(\Delta^s_+B_p,\Sigma_{r,n})_{L_q} \asymp n^{-{\min\{r,s\}}}\quad \text{и}\quad E(\Delta^s_+B_p,R_n)_{L_q}\asymp n^{-s} $$
наилучших приближений в метриках $L_q$ при условии, что $1\leqslant q<p\leqslant\infty$.
Библиография: 18 названий.