Стабилизация решения первой смешанной задачи для эволюционного квазиэллиптического уравнения

В цилиндрической области $D=(0,\infty)\times\Omega$, где $\Omega\subset \mathbb R_{n+1}$ — неограниченная область, рассматривается первая смешанная задача для уравнения высокого порядка
\begin{gather*} u_t+Lu=0, \\ Lu\equiv\sum_{i=q}^k(-1)^iD_x^i(a_i(x,{\mathbf y})D_x^iu)+ \sum_{i=l}^m\,\sum_{|\alpha|=|\beta|=i}(-1)^i D_{\mathbf y}^\alpha(b_{\alpha\beta}(x,{\mathbf y})D_{\mathbf y}^\beta u), \\ q\leqslant k,\quad l\leqslant m,\quad q,k,l,m\in\mathbb N,\quad x\in\mathbb R,\quad \mathbf y\in\mathbb R_n, \end{gather*}
с однородными краевыми условиями и финитной начальной функцией. Предлагается новый метод получения оценки сверху $L_2$-нормы $\|u(t)\|$ решения задачи, пригодный для широкого класса областей и уравнений. В частности, для областей $\{(x,{\mathbf y})\in\mathbb R_{n+1}:|y_1|<x^a\}$, $0<a<q/l$, при некотором условии на символ оператора $L$ эта оценка принимает вид
$$ \|u(t)\|\leqslant M\exp(-\kappa_2t^{b})\|\varphi\|,\qquad b=\frac{q-{la}}{q-{la}+2laq}\,. $$
Доказана точность оценки в широком классе неограниченных областей при $q=k=l=m=1$, т.е. для параболического уравнения второго порядка.
Библиография: 14 названий.