Квадратичные формы проективных пространств над кольцами

При переходе от полей к кольцам коэффициентов определяющая роль квадратичных форм с обратимой матрицей утрачивается. Выявляется, что кольцо, над которым диагонализируемы все квадратичные формы, в сущности всегда есть локальное кольцо $R$ главных идеалов с $2\in R^*$. Задача построения единственного “нормального” диагонального вида квадратичной формы над $R$ встречает трудности для индексов $|R^*:R^{*2}|>1$. Для индекса 2 она получает решение в теореме 2.1 при $1+R^{*2}\subseteq R^{*2}$ (распространение закона инерции вещественных квадратичных форм) и в теореме 2.2, когда в $1+R^2$ существует обратимый неквадрат. При тех же ограничениях на кольцо $R$ с нильпотентным максимальным идеалом явно указано (предложение 3.2) число классов проективно конгруэнтных квадратичных форм проективного пространства, ассоциированного со свободным $R$-модулем ранга $n$. С точностью до проективностей перечисление дано для проективной плоскости над $R$, а также (теорема 3.3) над локальным кольцом $F[[x,y]]/\langle x^{2},xy,y^{2}\rangle$ с не главным максимальным идеалом, где $F=2F$ – поле с обратимым неквадратом в $1+F^{2}$ и $|F^{*}:F^{*2}|=2$. В последнем случае число классов недиагонализируемых квадратичных форм ранга 0 зависит от выбора поля $F$ и даже не всегда конечно; остальные формы образуют 21 класс.
Библиография: 28 названий.