Эта публикация цитируется в
2 статьях
О зависимости свойств множества точек разрыва функции от скорости
ее полиномиальных хаусдорфовых приближений
А. П. Петухов
Аннотация:
Пусть $c_\alpha(f)=\varliminf_{n\to\infty}nH_\alpha E_n(f)$, где
$H_\alpha E_n(f)$ – наименьшее уклонение
$2\pi$-периодической функции
$f$ от тригонометрических полиномов порядка
$\leqslant n$ в
$\alpha$-метрике Хаусдорфа. Показано, что для любого
$\alpha>0$ существует функция
$f_\alpha$, для которой
$c_\alpha(f_\alpha)=\pi/2\alpha$ и множество точек разрыва которой имеет хаусдорфову размерность
$1$. Введено понятие
$R(E)$ – коэффициента
$\sigma$-равнопористости множества
$E$ и получена неулучшаемая оценка снизу коэффициента
$\sigma$-равнопористости множества точек разрыва
$D(f)$ функции
$f$ через величину
$c_\alpha(f)$, $\pi/2\alpha\leqslant c_\alpha(f)\leqslant\pi/\alpha$:
$$
R(D(f))\geqslant\frac{2(\pi-\alpha c_\alpha(f))}{3\pi-2\alpha c_\alpha(f)}.
$$
Ранее в работах Е. П. Долженко, Е. А. Севастьянова и П. Петрушева, Сп. Ташева было показано, что из условия
$c_\alpha(f)<\pi/\alpha$ следует непрерывность
$f$ почти всюду, а из
$c_\alpha(f)<\pi/2\alpha$ – непрерывность во всех точках.
П. Петрушев и Сп. Ташев построили пример разрывной функции
$f$, для которой
$c_\alpha(f)=\pi/2\alpha$, однако, в отличие от упомянутого выше примера, функция
$f$ имела на периоде лишь одну точку разрыва.
Библиография: 11 названий.
УДК:
517.51
MSC: Primary
26A15,
41A25,
42A10; Secondary
41A10 Поступила в редакцию: 28.01.1988