Об интегрируемости гамильтоновых систем с торическим пространством положений

Рассматривается задача о полной интегрируемости гамильтоновой системы с торическим пространством положений, эвклидовой кинетической энергией и малым аналитическим потенциалом. Найдены необходимые условия интегрируемости в случае, когда потенциал является тригонометрическим полиномом. Эти условия являются также необходимыми условиями существования дополнительных полиномиальных по импульсам первых интегралов (без предположения о малости потенциала). Доказательства базируются на детальном анализе классической схемы теории возмущений. Результаты общего характера применяются к исследованию полной интегрируемости известной задачи о движении $n$ точек по прямой с периодическим потенциалом взаимодействия. В частности, доказана неинтегрируемость “разомкнутой” цепочки взаимодействующих частиц при $n>2$; “периодическая” цепочка неинтегрируема при дополнительном условии, что потенциал является непостоянным тригонометрическим многочленом. Обсуждаются условия полной интегрируемости обобщенной непериодической цепочки Тоды.
Библиография: 17 названий.