Применение разложений целых функций в ряды экспонент
А. Ф. Леонтьев
Аннотация:
Устанавливается равенство
\begin{equation}
\varlimsup_{r\to\infty}\frac{\ln|F(re^{i\varphi})|}{r^\rho}=\varlimsup_{r\to\infty}\frac{\ln\Phi(re^{i\varphi})}{r^\rho}
\end{equation}
при тех
$\varphi$, где левая часть неотрицательна. Здесь
$F(z)=\sum_1^\infty a_ke^{\lambda_kz}$,
$\Phi(z)=\sum_1^\infty |a_ke^{\lambda_kz}|$,
$\rho>1$. При этом предполагается, что
$\lambda_k$ (
$k\geqslant1$) – нули целой функции
$L(\lambda)\in[\rho_1,0]$ $(1/\rho+1/\rho_1=1)$, причем
$$
\lim_{k\to\infty}\frac1{|\lambda_k|^{\rho_1}}\ln\biggl|\frac1{L'(\lambda_k)}\biggr|=0
$$
и правая часть в (1) конечна. Из этого результата следует, что индикатриса роста
$h_F(\varphi)$ функции
$F(z)$ определяется через модули коэффициентов
$a_k$.
Далее рассматривается уравнение
\begin{equation}
\sum_0^\infty c_k F^{(k)}(z)=f(z)\qquad\biggl(\sum_0^\infty c_k\lambda^k=L(\lambda)\biggr).
\end{equation}
Пусть
$0<H(\varphi)<\infty$ и
$H(\varphi)r^\rho$ – выпуклая функция от
$z=re^{i\varphi}$. Если
$h_f(\varphi)\leqslant H(\varphi)$ $(h_f(\varphi)$ – индикатриса роста
$f(z)$ при порядке
$\rho)$, то уравнение (2) имеет решение с
$h_F(\varphi)\leqslant H(\varphi)$. С помощью приведенного выше результата показывается, что не всегда имеется решение уравнения (2), которое удовлетворяло бы условию:
$h_F(\varphi)\leqslant h_f(\varphi)$.
Библиография: 8 названий.
УДК:
517.5
MSC: 30B50,
30D15,
34A35 Поступила в редакцию: 28.05.1984