Теоремы измеримого выбора и вероятностные модели управления в общих топологических пространствах

Пусть $(\Omega,\mathscr F)$ – измеримое пространство, $P$ – конечная мера на $\mathscr F$, $X$ – $\sigma$-компактное топологическое пространство (необязательно метризуемое); $\mathscr B(X)$ бэровская и $\mathbf B(X)$ – борелевская $\sigma$-алгебры на $X$. Пусть $\mathscr F^P$ – пополнение $\mathscr F$ по мере $P$ и $\sigma(\mathscr A(\mathscr F))$ – $\sigma$-алгебра, порожденная множествами $\Delta\subseteq\Omega$, представимыми в виде $\Delta=\mathrm{pr}_\Omega D$, где $D\subseteq\Omega\times[0,1]$, $D\in\mathscr F\times\mathbf B([0,1])$. Отображение $\xi\colon\Omega\to X$ называется селектором множества $\Gamma$, если $(\omega,\xi(\omega))\in\Gamma$ при $\omega\in\mathrm{pr}_\Omega\Gamma$. Центральный результат (теорема измеримого выбора) состоит в следующем.
Теорема 1. Для любого множества $\Gamma\in\mathscr F\times\mathscr B(X)$ существуют измеримые отображения
$$ \xi\colon(\Omega,\mathscr F^P)\to(X,\mathbf B(X)),\qquad\eta\colon(\Omega,\sigma(\mathscr A(\mathscr F)))\to(X,\mathscr B(X)), $$
являющиеся селекторами для $\Gamma$.
Доказательство существования $\eta$ опирается на гипотезу континуума.
Теорема 1 (в части, касающейся существования $\xi$) используется для получения необходимых и достаточных условий экстремума в некоторых задачах управления случайными процессами с дискретным временем.
Библиография: 34 названия.